Kuasa dua Punca Kuasa dua, Kuasa tiga Punca kuasa tiga

KUASA DUA, PUNCA KUASA DUA KUASA TIGA, PUNCAKUASA TIGA

Kuasa dua dan punca kuasa dua adalah antara tajuk yang sukar di peringkat menengah rendah. Strategi pengajaran dan pembelajaran tajuk berkenaan, banyak tertumpu kepada kaedah hafalan di samping pendedahan , dan kemahiran menggunakan buku sifir serta kalkulator eletronik. Para pelajar hanya mengetahui bahawa; punca kuasa dua adalah songsangan bagi kuasa dua, dan begitulah sebaliknya, kuasa dua adalah songsangan bagi punca kuasa dua. Penggunaan simbol yang ‘archaic’ dan istilah yang tidak tekal ( seperti ‘kuasa’ dan ‘punca’ ), telah menambahkan lagi kesukaran dan kekeliruan di kalangan pelajar. Pengajaran dan pembelajaran yang bermakna bukan sahaja dapat membantu pelajar membina skim pengetahuan yang betul, malah dapat menimbulkan rasa minat dan cinta terhadap matematik.

Kuasa dan Punca

• Kuasa dua suatu nombor ialah hasil darab nombor itu dengan dirinya.

• Nombor bercampur ditukar kepada pecahan tidak wajar terlebih dahulu sebelum di kuasa duakan

• Punca kuasa dua nombor negatif tidak wujud.

Square

Cara pengiraan kuasa dua

1 x 1 = 1              1 is a square number

2 x 2 = 4              4 is a square number

3 x 3 = 9               9 is a square number

4 x 4 = 16           16 is a square number

5 x 5 = 25           25 is a square number

6 x 6 = 36           36 is a square number

7 x 7 = 49            49 is a square number

8 x 8 = 64            64 is a square number

9 x 9 = 81             81 is a square number

10 x 10 = 100    100 is a square number

11 x 11 = 121    121 is a square number

12 x 12 = 144    144 is a square number

13 x 13 = 169    169 is a square number

14 x 14 = 196    196 is a square number

15 x 15 = 225    225 is a square number

Cubes

Lagi Gandaan Sepunya dan Gandaan Sepunya Terkecil (GSTK)

Gandaan Sepunya (common multiples) set nombor bulat yang diberi adalah gandaan setiap nombor tersebut dalam set.

Gandaan Sepunya Terkecil, GSTK (lowest common multiple, LCM) beberapa nombor yang diberikan adalah gandaan sepunya terkecil nombor-nombor tersebut.

* Konsep ‘gandaan’ dan ‘faktor’ adalah bertentangan.
Contohnya;

30 adalah gandaan bagi 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 dan 30.

Manakala, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 dan adalah factor kepada 30.

Mencari gandaan sepunya bagi dua atau tiga nombor bulat.

Contoh 1:

Dapatkan gandaan sepunya bagi;

• 3 dan 4.
  Jwb:
  Gandaan bagi 3: 3, 6, 9, 12, 15,  18, 21, 24, …
  Gandaan bagi 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, …
  Gandaan Sepunya bagi 3 dan 4 adalah 12, 24, 36, …
• 2, 3 dan 6.
  Jwb:
  Gandaan bagi 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …
  Gandaan bagi 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …
  Gandaan bagi 6: 6, 12, 18, 24, 36, …
  Gandaan Sepunya bagi 2, 3 dan 6 adalah 6, 12, 18, …

** Senarai gandaan sepunya beberapa nombor bulat adalah juga dari urutan nombor.

Menentukan samada suatu nombor itu adalah gandaan sepunya bagi dua atau tiga nombor bulat yang diberi.

Contoh 2:

Tentukan samada;

• 84 adalah gandaan sepunya bagi 5 dan 7.
  Jwb:
  84 ÷ 5 = 16 berbaki 4
  84 ÷ 7 = 12
  84 tidak boleh dibahagi tepat dengan 5.
  Oleh itu, 84 adalah bukan Gandaan Sepunya bagi 5 dan 7.
• 432 adalah gandaan sepunya bagi 6, 8 dan 9.
  Jwb:
  432 ÷ 6 = 72
  432 ÷ 8 = 54
  432 ÷ 9 = 48
  432 boleh dibahagi tepat dengan 6, 8 dan 9.
  Oleh itu, 432 adalah Gandaan Sepunya bagi 6, 8 dan 9.

Menentukan GSTK (LCM) bagi dua nombor bulat.

Contoh 3:

Cari Gandaan Sepunya Terkecil bagi;

• 9 dan 12
  Jwb:
  Kaedah 1: Pemfaktoran Perdana (Prime Factorisation)
  
  GSTK bagi 9 dan 12 = 3 x 3 x 2 x 2 = 36

  Kaedah 2: Guna algoritma (pembahagian berulang oleh faktor perdana)
  
  GSTK bagi 9 dan 12 = 3 x 3 x 2 x 2 = 36
• 15 dan 21
  Jwb:
  Kaedah 1: Pemfaktoran Perdana (Prime Factorisation)
  
  GSTK bagi 15 dan 21 = 5 x 3 x 7 = 105

  Kaedah 2: Guna algoritma
  
  GSTK bagi 15 dan 21 = 3 x 5 x 7 = 105

Menentukan GSTK (LCM) bagi tiga nombor bulat.Contoh 4:
Tentukan GSTK bagi;

• 6, 15 dan 18.
  Jwb:
  
  GSTK bagi 6, 15 dan 18 = 2 x 3 x 3 x 5 = 90
• 14, 28 dan 49.
  Jwb:
  
  GSTK bagi 14, 28, 49 = 7 x 2 x 2 x 7 = 196

SEJARAH NOMBOR

Sejarah nombor Nombor ialah satu entiti abstrak yang mewakili hitungan atau ukuran. Simbol untuk nombor dipanggil angka. Dalam penggunaan biasa, angka sering digunakan sebagai label (nombor teleforn), penunjuk susunan (nombor siri) dan kod (ISBN). Dalam bidang matematik, takrif nombor telah diperluaskan untuk merangkumi keabstrakan seperti pecahan, nisbah serta nombor-nombor negatif dan sebagainya. Berikut adalah video mengenai sejarah nombor.


<iframe width="420" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/cy-8lPVKLIo" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>

JOM TONTON GSTK DAN FSTB

FAKTOR SEPUNYA DAN FSTB

Faktor

Faktor (factor) suatu nombor bulat yang diberi adalah, nombor yang boleh dibahagikan dengan nombor tersebut dengan tepat.

1 dan nombor itu sendiri adalah faktor kepada sebarang nombor yang diberi.

Menyenaraikan faktor nombor bulat.

Contoh:

Cari semua faktor bagi:

• 18
  Jwb:
  18 ÷ 1 = 18
  18 ÷ 2 = 9
  18 ÷ 3 = 6
  18 ÷ 6 = 3
  18 ÷ 9 = 2
  18 ÷ 18 = 1
  18 boleh dibahagikan dengan 1, 2, 3, 6, 9 dan 18. Oleh itu, faktor kepada 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9 dan 18.
• 50
  Jwb:
  50 ÷ 1 = 50
  50 ÷ 2 = 25
  50 ÷ 5 = 10
  50 ÷ 10 = 5
  50 ÷ 25 = 2
  50 ÷ 50 = 1
  50 boleh dibahagikan dengan 1, 2, 5, 10, 25 dan 50. Oleh itu, faktor kepada 50 adalah 1, 2, 5, 10, 25 dan 50.

Menentukan samada suatu nombor itu adalah faktor kepada nombor bulat yang lain.

Contoh:

Tentukan samada;

• 7 adalah faktor kepada 119.
  Jwb:
  119 ÷ 7 = 17
  119 boleh dibahagikan dengan tepat oleh 7. Oleh itu, 7 adalah factor kepada 119.
• 4 adalah faktor kepada 599.
  Jwb:
  599 tidak boleh dibahagi dengan tepat oleh 4. Oleh itu, 4 adalah bukan faktor kepada 599.

Faktor Perdana

Faktor perdana (prime factor) bagi suatu nombor bulat adalah, nombor perdana yang merupakan faktor kepada nombor tersebut.

Mengenal pasti faktor perdana dari senarai faktor.

Contoh:

Diberi 1, 2, 4, 7, 8, 14 dan 56 ada faktor kepada 56. Kenal pasti semua faktor perdana kepada 56.

Jwb:

Antara faktor kepada 56, 2 dan 7 adalah nombor perdana. Oleh itu, faktor perdana kepada 56 adalah 2 dan 7.

Mencari faktor perdana nombor bulat.

Contoh:

Dapatkan faktor perdana nombor berikut:

• 100
  Kaedah 1 – Senaraikan semua faktor kepada 100.
  Faktor kepada 100 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 dan 100. Antara semua faktor tersebut, 2 dan 5 adalah nombor perdana. Oleh itu, faktor perdana kepada 100 adalah 2 dan 5.
  Kaedah 2 – Menggunakan algoritma (pembahagian berulang oleh faktor perdana).
  
  Oleh itu, faktor perdana kepada 100 adalah 2 dan 5.
  Kaedah 3 – Menggunakan gambarajah pokok (factor tree diagram).
  
  Daripada gambarajah, faktor perdana kepada 100 adalah 2 dan 5.
• 72
  Kaedah 1 – Senaraikan semua faktor kepada 72.
  Faktor kepada 72 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 dan 72. Antara semua faktor tersebut, 2 dan 3 adalah nombor perdana. Oleh itu, faktor perdana kepada 72 adalah 2 dan 3.
  Kaedah 2 – Menggunakan algoritma (pembahagian berulang oleh faktor perdana).
  
  Oleh itu, faktor perdana kepada 72 adalah 2 dan 3.
  Kaedah 3 – Menggunakan gambarajah pokok (factor tree diagram).
  
  Daripada gambarajah, faktor perdana kepada 72 adalah 2 dan 3.

Faktor Sepunya dan Faktor Sepunya Terbesar (FSTB)

Faktor Sepunya (common factors) beberapa nombor bulat adalah nombor yang merupakan faktor setiap nombor-nombor tersebut.

Faktor Sepunya Terbesar, FSTB (Highest Common Factor, HCF) beberapa nombor yang diberi adalah nombor terbesar yang merupakan faktor setiap nombor-nombor tersebut.

Mencari faktor sepunya bagi dua atau tiga nombor bulat.

Contoh 1:

Cari faktor sepunya bagi;

• 18 dan 54.
  Jwb:
  Faktor bagi 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
  Faktor bagi 54: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54
  Faktor Sepunya bagi 18 dan 54 adalah 1, 2, 3, 6, 9 dan 18.
• 9, 15 dan 21.
  Jwb:
  Faktor bagi 9: 1, 3, 9
  Faktor bagi 15: 1, 3, 5, 15
  Faktor bagi 21: 1, 3, 7, 21
  Faktor Sepunya bagi 9, 15 dan 21 adalah 1 dan 3.

Menentukan samada suatu nombor itu adalah faktor sepunya bagi dua atau tiga nombor yang diberi.

Contoh 2:

Tentukan samada;

• 12 adalah faktor sepunya bagi 84 dan 156.
  Jwb:
  84 ÷ 12 = 7
  156 ÷ 12 = 13
  Oleh itu, 12 adalah faktor sepunya bagi 84 dan 156.
• 4 adalah faktor sepunya bagi 32, 70 dan 112.
  Jwb:
  32 ÷ 4 = 8
  70 ÷ 4 = 17 berbaki 2
  112 ÷ 4 = 28
  Oleh itu , 4 adalah bukan faktor sepunya bagi 32, 70 dan 112.

Menentukan Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi dua nombor bulat.

Contoh 3:

Dapatkan faktor sepunya terbesar bagi;

• 28 dan 32.
  Jwb:
  Kaedah 1: Senaraikan semua faktor bagi setiap nombor.
  Faktor bagi 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28
  Faktor bagi 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32
  Oleh itu, faktor sepunya terbesar bagi 28 dan 32 adalah 4.
  Kaedah 2: Penggunaan algoritma (pembahagian berulang oleh faktor sepunya).
  
  Faktor sepunya terbesar bagi 28 dan 32 adalah = 2 x 2 = 4.
• 15 dan 24.
  Jwb:
  Kaedah 1: Senaraikan semua faktor bagi setiap nombor.
  Faktor bagi 15: 1, 3, 5, 15
  Faktor bagi 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  Oleh itu, faktor sepunya terbesar bagi 15 dan 24 adalah 3.
  Kaedah 2: Penggunaan algoritma (pembahagian berulang oleh faktor sepunya).
  
  Oleh itu, faktor sepunya terbesar bagi 15 dan 24 adalah 3.

Menentukan Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi tiga nombor bulat.

Contoh 4:
Dapatkan faktor sepunya terbesar (FSTB) bagi;

• 40, 48 dan 56.
  Jwb:
  
  * Pembahagian dihentikan kerana 5, 6 dan 7 tidak mempunyai faktor sepunya yang lain daripada 1.
  Oleh itu,Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi 40, 48 dan 56
  = 2 x 2 x 2
  = 8
• 70, 84 dan 126.
  Jwb:
  
  ** Pembahagian dihentikan kerana 5, 6 dan 9 tidak mempunyai faktor sepunya yang lain daripada 1.
  Oleh itu, Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi 70, 84 dan 126
  = 2 x 7
  = 14

JOM TONTON NOMBOR NISBAH